BAB II
Pembahasan
1.
Kardinal
1.1
Himpunan yang equivalen
Definisi
:Himpunan
A dan B dikatakan sama (equivalen) jika ada fungsi f yang memetakan himpunan A
tepat satu atau korespondensi satu –satu dengan himpunan B.
Contoh :
Misalkan N = { 1,2,3,…}
dan M = { 2,4,6,…}
Fungsi F : N → M yang
didefinisikan oleh f(x) = 2x yang berkorespondensi satu – satu. Maka N
equivalend dengan M.
1.2 Kardinalitas
Kardinalitas
dari sebuah himpunan dapat dimengerti sebagai ukuran banyaknya elemen yang
dikandung oleh himpunan tersebut.
Banyaknya
elemen himpunan {apel,jeruk,mangga,pisang}
adalah 4. Himpunan {p,q,r,s}
juga memiliki elemen sejumlah 4. Berarti
kedua himpunan tersebut ekivalen satu sama lain, atau dikatakan memiliki
kardinalitas yang sama.
1.3 Konsep
Kardinalitas
Bila A
equivalen dengan B, yaitu A ~ B, maka kita katakan bahwa A dan B mempunyai
bilangan kardinal yang sama atau kardinalitasnya sama.
Kita tulis #
(A) untuk “ menyatakan bilangan kardinal dari A”. jadi # (A) = # (B) bila dan
hanya bila A ~ B. bila A < B, maka kita katakan A mempunyai kardinalitas
lebih kecil dari B atau kardinalitas B lebih besar dari A, dengan kata lain :
# (A) < # (B)
bila dan hanya bila A < B juga,
# (A) ≤ # (B)
bila dan hanya bila A ≤ B
1.4
Himpunan Denumerabel
Jika
sebuah himpunan ekivalen dengan himpunan , yaitu himpunan bilangan asli, maka himpunan
tersebut disebut denumerabel.
Kardinalitas dari himpunan tersebut disebut sebagai kardinalitas .
Contoh
:
Himpunan
semua bilangan genap positif merupakan himpunan denumerabel, karena memiliki
korespondensi satu-satu antara himpunan tersebut dengan himpunan bilangan asli,
yang dinyatakan oleh .
1.5 Himpunan Berhingga
Jika sebuah himpunan memiliki kardinalitas yang
kurang dari kardinalitas , maka himpunan
tersebut adalah himpunan berhingga.
1.6 Himpunan Tercacah
Himpunan disebut tercacah jika himpunan tersebut
adalah berhingga atau denumerabel.
1.7 Himpunan
Non-Denumerabel
Himpunan yang tidak tercacah disebut himpunan
non-denumerabel. Contoh dari himpunan ini adalah himpunan semua bilangan riil.
Kardinalitas dari himpunan jenis ini disebut sebagai kardinalitas . Pembuktian bahwa
bilangan riil tidak denumerabel dapat menggunakan pembuktian diagonal.
Himpunan bilangan riil dalam
interval (0,1) juga memiliki kardinalitas , karena terdapat
korespondensi satu-satu dari himpunan tersebut dengan himpunan seluruh bilangan
riil, yang salah satunya adalah .
2.
Relasi
terurut
Sebuah relasi R pada himpunan S
dikatakan relasi terurut parsial jika relasi tersebut bersifat
refleksif, antisimetri dan transitif. Sebuah himpunan S yang dilengkapi
dengan sebuah relasi R yang terurut parsial, himpunan tersebut dinamakan himpunan
terurut parsial (partially ordering set – poset),
Notasi : (S, R).
2.1 Definisi : Suatu relasi biner dinamakan sebagai suatu relasi
pengurutan tak lengkap atau relasi pengurutan parsial ( partial ordering
relation ) jika ia bersifat reflexive, antisymmetric, dan transitive.
Pengurutan parsial paling terkenal adalah relasi £ dan ³ pada himpunan Z dan R. Untuk alasan ini, ketika
berbicara secara umum tentang sebuah pengurutan parsial R pada himpunan A kita
akan sering menggunakan symbol £ atau ³ untuk R.Dengan kata lain,
Relasi dalam himpunan
A disebut terurut parsial pada himpunan A bila dan hanya bila untuk setiap a,
b, c A adalah:
(i) berifat relasi reflektif bila dan
hanya bila memenuhi sifat a
a
(ii) bersifat relasi anti-simetri bila dan hanya bila
memenugi sifat” Bila a b dan b a maka a = b.
(iii) bersifat relasi
transitif bila dan hanya bila memenuhi sifat “Bila a b dan b c maka a c.
Himpunan A dengan terurut parsial dilambangkan dengan (A,
)
CONTOH :
1.
Himpunan Z+
adalah himpunan bilangan bulat positif. Relasi £ (kurang atau sama dengan) adalah sebuah parsial order
pada Z+ . Hal ini berlaku pula untuk relasi ³.
Jawab : Bila (a,b)
ada didalam R jika a £ b.
ü Karena setiap bilangan bulat = dirinya sendiri à refleksive
ü Karena a £ b dan b £ a kecuali a = b à antisymmetris
ü Jika a £ b dan b £ c maka a £ c à transitive.
2.
Relasi himpunan
bagian adalah terurut
parsial didalam suatu kelas dari himpunan-himpunan, karena
ü A A untuk
sebarang A à refleksive
ü Bila A B dan B A, maka A = B à antisymmetris
Bila A B dan B C, maka A C à transitive.
Bila a b didalam
himpunan terurut, maka dikatakan bahwa a pendahulu atau lebih kecil dari b, dan
b disebut pengikut atau penguasa atau lebih besar dari a. a < b, bila a b tetapi ab.
Suatu himpunan terurut bagian A disebut terurut
total (terurut linear) bila setiap a, b A maka a b atau b a. Contohnya
adalah himpunan bilangan real R dengan urutan natural x y.
Bila suatu relasi R dalam himpunan A adalah terurut
parsial, maka relasi invers juga terurut
parsial dan disebut urutan invers.
2.2 Himpunan Bagian dari Himpunan Terurut.
Misal A adalah himpunan bagian dari himpunan terurut parsial X, maka di
dalam X, A adalah terurut dengan ketentuan:
Bila a, b A maka a b sebagai
unsur-unsur dalam A bila dan hanya bila a b sebagai
unsur-unsur di dalam X.
Bila R terurut parsial dalam X,
maka relasi , disebut restriksi R pada A adalah terurut
parsial dalam A. Himpunan terurut disebut
himpunan bagian dari himpunan terurut (X, R).
Contoh :
Misal terurut parsial dalam W = {a, b. c, d, e} didefinisikan oleh diagram
berikut:
Himpunan-himpunan {a, c, d} dan {b, e} adalah
himpunan-himpunan bagian terurut total.
Himpunan-himpunan {a, b, c} dan {d, e} bukan
himpunan-himpunan bagian terurut total.
2.3 Elemen Pertama dan Terakhir.
Misal X adalah himpunan terurut. Suatu elemen a X adalah elemen
pertama atau elemen terkecil dari X bila dan hanya bila a x, untuk semua
x X. Suatu elemen
b X adalah elemen
terakhir atau elemen terbesar dari X bila dan hanya bila x b, untuk semua
x X.
Contoh :
1.
Bilangan
bulat positif N dengan urutan biasa mempunyai elemen pertama 1.Himpunan semua
bilangan bulat B dengan urutan biasa tak mempunyai elemen terkecil dan
terbesar.
2.
Misal
X= {a, b, c, d, e} terurut seperti diagram berikut :
Dari
gambar diatas, diperoleh bahwa a adalah elemen terakhir, karena a merupakan
unsur berikutnya dari tiap unsur yang lain. X tidak mempunyai elemen pertama. d
bukan elemen pertama karena d tak mendahului e.
2.4 Elemen Maksimal dan Minimal
Misal X adalah himpunan terurut, suatu elemen a X adalah maksimal
bila dan hanya bila a x maka x = a,
yaitu bila tidak ada elemen berikutnya dari a kecuali elemen itu sendiri. Suatu
elemen b X adalah minimal
bila dan hanya bila x b maka x = b,
yaitu bila tidak ada elemen yang mendahului b kecuali elemen itu sendiri.
Contoh:
1. Misal X= {a, b, c, d, e} terurut seperti diagram
berikut :
Maka d dan e adalah elemen-elemen minimal, sedangkan a adalah elemen
maksimal.
2. Misal A={a1, a2, a3, ...., am} adalah himpunan
terhingga yang terurut total. Maka A mempunyai tepat satu elemen minimal dan
satu elemen maksimal yang berturut=turut ditulis oleh min{a1,a2,a3, ... ,am}
dan maks {a1, a2,a3,...,am}.
2.5
Batas Atas dan Batas Bawah
Misal A himpunan bagian dari terurut parsial X. Elemen m X adalah batas
bawah dari A bila dan hanya bila m x, untuk semua
x A. Yaitu bila m
mendahului tiap-tiap elemen dalam A. Bila sebarang batas bawah dari A didahului
oleh setiap batas bawah dari A, maka batas bawah tersebut disebut batas
bawah terbesar dari A atau infimum dari A, ditulis Inf (A).
Elemen M X adalah batas
atas dari A bila dan hanya bila x M, untuk semua
x A, yaitu bila M
didahului oleh tiap elemen dalam A. Bila
sebarang batas atas dari A mendahului oleh setiap batas dari A, maka batas atas
itu disebut batas atas terkecil dari A atau supremum dari A ditulis
sup(A).
A disebut terbatas di atas bila A mempunyai
batas atas dan A disebut terbatas di bawah bila A mempunyai
batas bawah. Bila A mempunyai batas atas dan batas bawah maka A disebut terbatas.
Contoh :
1. Misal X={a, b, c, d, e, f, g} adalah terurut oleh
diagram berikut :
Misal B={c,d,e}, maka a, b dan c adalah batas-batas atas dari
B, dan f adalah batas bawah dari B, sedangkan g bukan batas bawah dari B karena
g tidak mendahului d. Selanjutnya c = Sup (B) termasuk kedalam B dan f =Inf (B)
bukan anggota dari B.
2. Misal Q
adalah himpunan semua bilangan rasional dan
B={x : x Q, x>0, 2
< x2 < 3}. Maka B tidak mempunyai tak hingga banyaknya batas
atas dan batas bawah, tetapi Inf (B) dan Sup (B) ada.
3.
Bilangan
Bulat dan Bilangan Real
3.1
Bilangan Real ( Real Number )
Sekumpulan bilangan-bilangan rasional atau
irrasional disebut himpunan bilangan real
dan dinyatakan dengan R, sehingga himpunan bilangan real merupakan gabungan
himpunan bilangan rasional dengan himpunan bilangan irrasional. Jika di tulis .
Sifat
penting dari bilangan real adalah bilangan tersebut dapat dinyatakan oleh titik
– titik pada sebuah garis lurus. Bilangan real dinotasikan dengan R#.
Kita memilih sebuah titik yang dinamakan titik asal untuk menyatakan 0 dan
titik – titik lainnya. Kita buatkan pasangan titik – titik tersebut dengan
bilangan - bilangan real. Garis yang mengandung bilangan real ini dinamakan
baris real. Bilangan – bilangan yang berada disebelah kanan 0 disebut bilangan
– bilangan positif dan bilangan – bilangan real yang berada disebelah kiri 0
disebut bilangan – bilangan negatif. Bilangan 0 bukanlah bilangan positif
ataupun bilangan negatif. Perhatikan Garis Real dibawah ini :
Hubungan antara
bilangan real dengan bilangan yang lain di jelaskan pada gambar di bawah ini
dan dinyatakan dan Qc
Ì R
3.1.1 SISTEM BILANGAN REAL
Sebagaimana dijelaskan diatas bahwa sistem adalah himpunan
dari bilangan-bilangan beserta sifat-sifatnya, sehingga sistem bilangan real
adalah himpunan yang terdiri dari bilangan real beserta sifat-sifat yang
dimilikinya. Adapun beberapa sifat bilangan real akan diuraikan
sebagai berikut:
3.1.2
Sifat-sifat Medan
1.
Hukum
komutatif : &, "x,y Î R
2.
Hukum
asosiatif : &,"x,y,z Î R
3.
Hukum
distribusi : , "x,y,z Î R
4.
Elemen-elemen
identitas
Ø Elemen identitas terhadap penjumlahan
adalah 0 yang memenuhi x + 0 = x, "xÎR
Ø Elemen identitas terhadap perkalilan
adalah 1 yang memenuhi x×1 = x, "x Î R
5.
Invers
(balikan)
Ø Setiap bilangan real x mempunyai
balikan aditif (invers terhadap penjumlahan) yang disebut negative x atau -x
yang memenuhi x + (-x) = 0
Ø Setiap bilangan x mempunyai balikan
perkalian (invers terhadap perkalian) yang disebut kebalikan atau x-1,
yang memenuhi x × x-1 = 1
3.2
Bilangan Bulat ( Integer Number )
Bilangan – bilangan bulat adalah bilangan –
bilangan real. Bilangan bulat dinotasikan dengan Z yang berasal dari bahasa
jerman “Zahlen” yang diartikan utuh. Sehingga bilangan bulat disebut juga
bilangan “utuh”. Sifat dari bilangan bulat adalah tertutup (closed)
dibawah operasi penjumlahan ( addition ), perkalian ( multiple),
dan pengurangan (subtraction). Akan tetapi bilangan bulat tidak tertutup
dapa operasi pembagian ( devided ). Himpunan Bilangan Bulat di tulis : Z
= {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}
4. Lemma
Zorn
4.1 Lemma 2.1.23 (Lemma Zorn)
Jika himpunan S terurut parsial sehingga setiap rantai di dalamnya memiliki batas atas di dalam himpunan S, maka himpunan S memiliki minimal satu elemen maksimal.
Jika himpunan S terurut parsial sehingga setiap rantai di dalamnya memiliki batas atas di dalam himpunan S, maka himpunan S memiliki minimal satu elemen maksimal.
4.2 Ilustrasi dari Lemma Zorn
tersebut adalah sebagai berikut :
Misalkan S adalah himpunan terurut parsial dan setiap rantai di dalamnya memiliki batas atas. Kemudian, diandaikan himpunan S tidak memiliki elemen maksimal. Selanjutnya diambil sebarang rantai T di himpunan S yang memiliki batas atas awal M di rantai T, yang artinya untuk setiap . Dari hipotesis, M bukanlah elemen maksimal di S, yang artinya akan terdapat sehingga berlaku dan . Jelas bahwa , karena dan M merupakan batas atas himpunan T. Di pihak lain, juga akan terdapat sehingga berlaku dan dan seterusnya, yang berarti pula bahwa rantai T tidak memiliki batas atas.
Misalkan S adalah himpunan terurut parsial dan setiap rantai di dalamnya memiliki batas atas. Kemudian, diandaikan himpunan S tidak memiliki elemen maksimal. Selanjutnya diambil sebarang rantai T di himpunan S yang memiliki batas atas awal M di rantai T, yang artinya untuk setiap . Dari hipotesis, M bukanlah elemen maksimal di S, yang artinya akan terdapat sehingga berlaku dan . Jelas bahwa , karena dan M merupakan batas atas himpunan T. Di pihak lain, juga akan terdapat sehingga berlaku dan dan seterusnya, yang berarti pula bahwa rantai T tidak memiliki batas atas.
Kemudian, dapat diperoleh
pula bahwa juga rantai dengan batas atas
awal (karena ). Berdasarkan hipotesis
lagi, juga bukan elemen maksimal di
S, sehingga akan terdapat yang berakibat dan dan seterusnya, yang berarti
pula bahwa rantai juga tidak memiliki batas
atas.
Begitu seterusnya, akan
selalu terbentuk rantai baru yang lebih panjang dan tidak memiliki batas atas
di rantai tersebut. Dari sini telah timbul kontradiksi, karena menurut
hipotesis, setiap rantai di dalam himpunan S memiliki batas atas. Jadi,
pengandaian salah, dan haruslah himpunan S memiliki minimal satu elemen
maksimal. Dengan demikian, terbukti bahwa jika S adalah himpunan terurut
parsial dan setiap rantai di dalamnya memiliki batas atas di S, maka S memiliki
minimal satu elemen maksimal.
Contoh 2.1.24
1. Sebuah himpunan terurut parsial bisa memiliki banyak elemen maksimal.
1. Sebuah himpunan terurut parsial bisa memiliki banyak elemen maksimal.
Jawab :
Misalkan adalah koleksi semua himpunan
bagian sejati di himpunan , yang terurut parsial dengan
relasi . Himpunan tidak memiliki batas atas,
tetapi memiliki elemen maksimal, yaitu himpunan untuk suatu . Dalam hal ini A memiliki
lebih dari satu elemen maksimal.
2. Sebuah himpunan terurut parsial bisa tidak memiliki elemen maksimal.
2. Sebuah himpunan terurut parsial bisa tidak memiliki elemen maksimal.
Jawab :
Misalnya
himpunan semua bilangan real , merupakan himpunan terurut parsial dengan
relasi , tetapi tidak memiliki elemen maksimal, karena akan
selalu terbentuk rantai baru di yang lebih panjang dari rantai sebelumnya dan
tidak memiliki batas atas.