MATEMATICA: November 2012

BAB II

Pembahasan

1. Kardinal

1.1 Himpunan yang equivalen

Definisi :Himpunan A dan B dikatakan sama (equivalen) jika ada fungsi f yang memetakan himpunan A tepat satu atau korespondensi satu –satu dengan himpunan B.

Contoh :

Misalkan N = { 1,2,3,…} dan M = { 2,4,6,…}

Fungsi F : N → M yang didefinisikan oleh f(x) = 2x yang berkorespondensi satu – satu. Maka N equivalend dengan M.

1.2 Kardinalitas

Kardinalitas dari sebuah himpunan dapat dimengerti sebagai ukuran banyaknya elemen yang dikandung oleh himpunan tersebut.

Banyaknya elemen himpunan

{apel, jeruk, mangga, pisang}

adalah 4. Himpunan

{p, q, r, s}

juga memiliki elemen sejumlah 4. Berarti kedua himpunan tersebut ekivalen satu sama lain, atau dikatakan memiliki kardinalitas yang sama.

1.3 Konsep Kardinalitas

Bila A equivalen dengan B, yaitu A ~ B, maka kita katakan bahwa A dan B mempunyai bilangan kardinal yang sama atau kardinalitasnya sama.

Kita tulis # (A) untuk “ menyatakan bilangan kardinal dari A”. jadi # (A) = # (B) bila dan hanya bila A ~ B. bila A < B, maka kita katakan A mempunyai kardinalitas lebih kecil dari B atau kardinalitas B lebih besar dari A, dengan kata lain :

# (A) < # (B) bila dan hanya bila A < B juga,

# (A) ≤ # (B) bila dan hanya bila A ≤ B

1.4 Himpunan Denumerabel

Jika sebuah himpunan ekivalen dengan himpunan $\mathbb{N}$ , yaitu himpunan bilangan asli, maka himpunan tersebut disebut denumerabel. Kardinalitas dari himpunan tersebut disebut sebagai kardinalitas $\mathfrak{a}$ .

Contoh :

Himpunan semua bilangan genap positif merupakan himpunan denumerabel, karena memiliki korespondensi satu-satu antara himpunan tersebut dengan himpunan bilangan asli, yang dinyatakan oleh $2n\,$ .

$A = \{ 2,\, 4,\, 6,\, 8,\, ...\}$

1.5 Himpunan Berhingga

Jika sebuah himpunan memiliki kardinalitas yang kurang dari kardinalitas $\mathfrak{a}$ , maka himpunan tersebut adalah himpunan berhingga.

1.6 Himpunan Tercacah

Himpunan disebut tercacah jika himpunan tersebut adalah berhingga atau denumerabel.

1.7 Himpunan Non-Denumerabel

Himpunan yang tidak tercacah disebut himpunan non-denumerabel. Contoh dari himpunan ini adalah himpunan semua bilangan riil. Kardinalitas dari himpunan jenis ini disebut sebagai kardinalitas $\mathfrak{c}$ . Pembuktian bahwa bilangan riil tidak denumerabel dapat menggunakan pembuktian diagonal.

Himpunan bilangan riil dalam interval (0,1) juga memiliki kardinalitas $\mathfrak{c}$ , karena terdapat korespondensi satu-satu dari himpunan tersebut dengan himpunan seluruh bilangan riil, yang salah satunya adalah $y=tan(\pi x - \frac{1}{2}\pi)$ .

2. Relasi terurut

Sebuah relasi R pada himpunan S dikatakan relasi terurut parsial jika relasi tersebut bersifat refleksif, antisimetri dan transitif. Sebuah himpunan S yang dilengkapi dengan sebuah relasi R yang terurut parsial, himpunan tersebut dinamakan himpunan terurut parsial (partially ordering set – poset), Notasi : (S, R).

2.1 Definisi : Suatu relasi biner dinamakan sebagai suatu relasi pengurutan tak lengkap atau relasi pengurutan parsial ( partial ordering relation ) jika ia bersifat reflexive, antisymmetric, dan transitive.

Pengurutan parsial paling terkenal adalah relasi £ dan ³ pada himpunan Z dan R. Untuk alasan ini, ketika berbicara secara umum tentang sebuah pengurutan parsial R pada himpunan A kita akan sering menggunakan symbol £ atau ³ untuk R.Dengan kata lain,

Relasi

dalam himpunan A disebut terurut parsial pada himpunan A bila dan hanya bila untuk setiap a, b, c

A adalah:

(i) berifat relasi reflektif bila dan hanya bila memenuhi sifat a

(ii) bersifat relasi anti-simetri bila dan hanya bila memenugi sifat” Bila a

b dan b

a maka a = b.

(iii) bersifat relasi transitif bila dan hanya bila memenuhi sifat “Bila a

b dan b

c maka a

Himpunan A dengan terurut parsial dilambangkan dengan (A,

)

CONTOH :

1. Himpunan Z⁺ adalah himpunan bilangan bulat positif. Relasi £ (kurang atau sama dengan) adalah sebuah parsial order pada Z⁺ . Hal ini berlaku pula untuk relasi ³.

Jawab : Bila (a,b) ada didalam R jika a £ b.

ü Karena setiap bilangan bulat = dirinya sendiri à refleksive

Karena a £ b dan b £ a kecuali a = b à antisymmetris

ü Jika a £ b dan b £ c maka a £ c à transitive.

2. Relasi himpunan bagian

adalah terurut parsial didalam suatu kelas dari himpunan-himpunan, karena

ü A

A untuk sebarang A à refleksive

Bila A

B dan B

A, maka A = B à antisymmetris

Bila A

B dan B

C, maka A

C à transitive.

Bila a

b didalam himpunan terurut, maka dikatakan bahwa a pendahulu atau lebih kecil dari b, dan b disebut pengikut atau penguasa atau lebih besar dari a. a < b, bila a

b tetapi a

Suatu himpunan terurut bagian A disebut terurut total (terurut linear) bila setiap a, b

A maka a

b atau b

a. Contohnya adalah himpunan bilangan real R dengan urutan natural x

Bila suatu relasi R dalam himpunan A adalah terurut parsial, maka relasi invers

juga terurut parsial dan disebut urutan invers.

2.2 Himpunan Bagian dari Himpunan Terurut.

Misal A adalah himpunan bagian dari himpunan terurut parsial X, maka di dalam X, A adalah terurut dengan ketentuan:

Bila a, b

A maka a

b sebagai unsur-unsur dalam A bila dan hanya bila a

b sebagai unsur-unsur di dalam X.

Bila R terurut parsial dalam X, maka relasi

, disebut restriksi R pada A adalah terurut parsial dalam A. Himpunan terurut

disebut himpunan bagian dari himpunan terurut (X, R).

Contoh :

Misal terurut parsial dalam W = {a, b. c, d, e} didefinisikan oleh diagram berikut:

Himpunan-himpunan {a, c, d} dan {b, e} adalah himpunan-himpunan bagian terurut total.

Himpunan-himpunan {a, b, c} dan {d, e} bukan himpunan-himpunan bagian terurut total.

2.3 Elemen Pertama dan Terakhir.

Misal X adalah himpunan terurut. Suatu elemen a

X adalah elemen pertama atau elemen terkecil dari X bila dan hanya bila a

x, untuk semua x

X. Suatu elemen b

X adalah elemen terakhir atau elemen terbesar dari X bila dan hanya bila x

b, untuk semua x

Contoh :

1. Bilangan bulat positif N dengan urutan biasa mempunyai elemen pertama 1.Himpunan semua bilangan bulat B dengan urutan biasa tak mempunyai elemen terkecil dan terbesar.

2. Misal X= {a, b, c, d, e} terurut seperti diagram berikut :

Dari gambar diatas, diperoleh bahwa a adalah elemen terakhir, karena a merupakan unsur berikutnya dari tiap unsur yang lain. X tidak mempunyai elemen pertama. d bukan elemen pertama karena d tak mendahului e.

2.4 Elemen Maksimal dan Minimal

Misal X adalah himpunan terurut, suatu elemen a

X adalah maksimal bila dan hanya bila a

x maka x = a, yaitu bila tidak ada elemen berikutnya dari a kecuali elemen itu sendiri. Suatu elemen b

X adalah minimal bila dan hanya bila x

b maka x = b, yaitu bila tidak ada elemen yang mendahului b kecuali elemen itu sendiri.

Contoh:

1. Misal X= {a, b, c, d, e} terurut seperti diagram berikut :

Maka d dan e adalah elemen-elemen minimal, sedangkan a adalah elemen maksimal.

2. Misal A={a1, a2, a3, ...., am} adalah himpunan terhingga yang terurut total. Maka A mempunyai tepat satu elemen minimal dan satu elemen maksimal yang berturut=turut ditulis oleh min{a1,a2,a3, ... ,am} dan maks {a1, a2,a3,...,am}.

2.5 Batas Atas dan Batas Bawah

Misal A himpunan bagian dari terurut parsial X. Elemen m

X adalah batas bawah dari A bila dan hanya bila m

x, untuk semua x

A. Yaitu bila m mendahului tiap-tiap elemen dalam A. Bila sebarang batas bawah dari A didahului oleh setiap batas bawah dari A, maka batas bawah tersebut disebut batas bawah terbesar dari A atau infimum dari A, ditulis Inf (A).

Elemen M

X adalah batas atas dari A bila dan hanya bila x

M, untuk semua x

A, yaitu bila M didahului oleh tiap elemen dalam A. Bila sebarang batas atas dari A mendahului oleh setiap batas dari A, maka batas atas itu disebut batas atas terkecil dari A atau supremum dari A ditulis sup(A).

A disebut terbatas di atas bila A mempunyai batas atas dan A disebut terbatas di bawah bila A mempunyai batas bawah. Bila A mempunyai batas atas dan batas bawah maka A disebut terbatas.

Contoh :

1. Misal X={a, b, c, d, e, f, g} adalah terurut oleh diagram berikut :

Misal B={c,d,e}, maka a, b dan c adalah batas-batas atas dari B, dan f adalah batas bawah dari B, sedangkan g bukan batas bawah dari B karena g tidak mendahului d. Selanjutnya c = Sup (B) termasuk kedalam B dan f =Inf (B) bukan anggota dari B.

2. Misal Q adalah himpunan semua bilangan rasional dan

B={x : x

Q, x>0, 2 < x² < 3}. Maka B tidak mempunyai tak hingga banyaknya batas atas dan batas bawah, tetapi Inf (B) dan Sup (B) ada.

3. Bilangan Bulat dan Bilangan Real

3.1 Bilangan Real ( Real Number )

Sekumpulan bilangan-bilangan rasional atau irrasional disebut himpunan bilangan real dan dinyatakan dengan R, sehingga himpunan bilangan real merupakan gabungan himpunan bilangan rasional dengan himpunan bilangan irrasional. Jika di tulis

Sifat penting dari bilangan real adalah bilangan tersebut dapat dinyatakan oleh titik – titik pada sebuah garis lurus. Bilangan real dinotasikan dengan R#. Kita memilih sebuah titik yang dinamakan titik asal untuk menyatakan 0 dan titik – titik lainnya. Kita buatkan pasangan titik – titik tersebut dengan bilangan - bilangan real. Garis yang mengandung bilangan real ini dinamakan baris real. Bilangan – bilangan yang berada disebelah kanan 0 disebut bilangan – bilangan positif dan bilangan – bilangan real yang berada disebelah kiri 0 disebut bilangan – bilangan negatif. Bilangan 0 bukanlah bilangan positif ataupun bilangan negatif. Perhatikan Garis Real dibawah ini :

Hubungan antara bilangan real dengan bilangan yang lain di jelaskan pada gambar di bawah ini dan dinyatakan

dan Q^c Ì R

3.1.1 SISTEM BILANGAN REAL

Sebagaimana dijelaskan diatas bahwa sistem adalah himpunan dari bilangan-bilangan beserta sifat-sifatnya, sehingga sistem bilangan real adalah himpunan yang terdiri dari bilangan real beserta sifat-sifat yang dimilikinya. Adapun beberapa sifat bilangan real akan diuraikan sebagai berikut:

3.1.2 Sifat-sifat Medan

1. Hukum komutatif :

, "x,y Î R

2. Hukum asosiatif :

,"x,y,z Î R

3. Hukum distribusi :

, "x,y,z Î R

4. Elemen-elemen identitas

Ø Elemen identitas terhadap penjumlahan adalah 0 yang memenuhi x + 0 = x, "xÎR

Ø Elemen identitas terhadap perkalilan adalah 1 yang memenuhi x×1 = x, "x Î R

5. Invers (balikan)

Ø Setiap bilangan real x mempunyai balikan aditif (invers terhadap penjumlahan) yang disebut negative x atau -x yang memenuhi x + (-x) = 0

Ø Setiap bilangan x mempunyai balikan perkalian (invers terhadap perkalian) yang disebut kebalikan atau x^-1, yang memenuhi x × x^-1 = 1

3.2 Bilangan Bulat ( Integer Number )

Bilangan – bilangan bulat adalah bilangan – bilangan real. Bilangan bulat dinotasikan dengan Z yang berasal dari bahasa jerman “Zahlen” yang diartikan utuh. Sehingga bilangan bulat disebut juga bilangan “utuh”. Sifat dari bilangan bulat adalah tertutup (closed) dibawah operasi penjumlahan ( addition ), perkalian ( multiple), dan pengurangan (subtraction). Akan tetapi bilangan bulat tidak tertutup dapa operasi pembagian ( devided ). Himpunan Bilangan Bulat di tulis : Z = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}

4. Lemma Zorn

4.1 Lemma 2.1.23 (Lemma Zorn)
Jika himpunan S terurut parsial sehingga setiap rantai di dalamnya memiliki batas atas di dalam himpunan S, maka himpunan S memiliki minimal satu elemen maksimal.

4.2 Ilustrasi dari Lemma Zorn tersebut adalah sebagai berikut :
Misalkan S adalah himpunan terurut parsial dan setiap rantai di dalamnya memiliki batas atas. Kemudian, diandaikan himpunan S tidak memiliki elemen maksimal. Selanjutnya diambil sebarang rantai T di himpunan S yang memiliki batas atas awal M di rantai T, yang artinya $a\leq M$ untuk setiap $a\in T$ . Dari hipotesis, M bukanlah elemen maksimal di S, yang artinya akan terdapat $s\in S$ sehingga berlaku $M\leq s$ dan $M\neq s$ . Jelas bahwa $s\notin T$ , karena $M\neq s$ dan M merupakan batas atas himpunan T. Di pihak lain, juga akan terdapat $s',\; s$ sehingga berlaku $M\leq s',\; M\leq s$ dan $M\neq s',\; M\neq s$ dan seterusnya, yang berarti pula bahwa rantai T tidak memiliki batas atas.

Kemudian, dapat diperoleh pula bahwa $T\cup\left\{ s\right\}$ juga rantai dengan batas atas awal $s\in S$ (karena $M\leq s$ ). Berdasarkan hipotesis lagi, $s\in S$ juga bukan elemen maksimal di S, sehingga akan terdapat $t,\; t',\; t$ yang berakibat $s\leq t,\; s\leq t',\; s\leq t$ dan $s\neq t,\; s\neq t',\; s\neq t$ dan seterusnya, yang berarti pula bahwa rantai $T\cup\left\{ s\right\}$ juga tidak memiliki batas atas.

Begitu seterusnya, akan selalu terbentuk rantai baru yang lebih panjang dan tidak memiliki batas atas di rantai tersebut. Dari sini telah timbul kontradiksi, karena menurut hipotesis, setiap rantai di dalam himpunan S memiliki batas atas. Jadi, pengandaian salah, dan haruslah himpunan S memiliki minimal satu elemen maksimal. Dengan demikian, terbukti bahwa jika S adalah himpunan terurut parsial dan setiap rantai di dalamnya memiliki batas atas di S, maka S memiliki minimal satu elemen maksimal.

Contoh 2.1.24
1. Sebuah himpunan terurut parsial bisa memiliki banyak elemen maksimal.

Jawab :

Misalkan $A=\left\{ X\;|\; X\mathbb{\subset Z}^{+}\right\}$ adalah koleksi semua himpunan bagian sejati di himpunan $\mathbb{Z}^{+}$ , yang terurut parsial dengan relasi

. Himpunan $\mathbb{Z}^{+}$ tidak memiliki batas atas, tetapi memiliki elemen maksimal, yaitu himpunan $\mathbb{Z}^{+}-\left\{ n\right\}$ untuk suatu $n\in\mathbb{Z}^{+}$ . Dalam hal ini A memiliki lebih dari satu elemen maksimal.
2. Sebuah himpunan terurut parsial bisa tidak memiliki elemen maksimal.

Jawab :

Misalnya himpunan semua bilangan real $\mathbb{R}$ , merupakan himpunan terurut parsial dengan relasi

, tetapi $\mathbb{R}$ tidak memiliki elemen maksimal, karena akan selalu terbentuk rantai baru di $\mathbb{R}$ yang lebih panjang dari rantai sebelumnya dan tidak memiliki batas atas.

MATEMATICA

Jumat, 02 November 2012

RELASI TEERURUT, BILANGAN BULAT DAN BILANGAN REAL, LEMMA ZORN, DAN KARDINALITAS HIMPUNAN

1.1 Himpunan yang equivalen

1.3 Konsep Kardinalitas

1.4 Himpunan Denumerabel

1.5 Himpunan Berhingga

1.6 Himpunan Tercacah

1.7 Himpunan Non-Denumerabel

CONTOH :